21 april 2009

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg!!

Te hard gereden? geflitst? Pech dus.....of dit. Er is eigenlijk maar één truuk die echt werkt: U vraagt vriendelijk aan de politie of ze u uw exacte locatie en exacte snelheid kunnen doorgeven op het moment dat u de overtreding beging. Wees hierbij zo vriendelijk mogelijk!
Wanneer ze u dan de desbetreffende informatie doorspelen, dan sluit de val zich en kunt u hen aanklagen voor het schenden van de:
Onzekerheidsrelatie van Heisenberg!!


De onzekerheidsrelatie van Heisenberg, door Werner Heisenberg in 1927 gepubliceerd, is een belangrijk verband in de kwantummechanica. De relatie drukt uit dat er zgn. incommensurabele paren van grootheden bestaan, waarvoor niet van beide de waarde tegelijkertijd kan vastliggen. Een voorbeeld van twee grootheden waartussen zo'n onzekerheidsrelatie bestaat is: plaats en impuls. Een ander voorbeeld is het paar: energie en tijd. De onzekerheidsrelatie is een van de belangrijkste postulaten van de kwantummechanica. Elke theorie die een kwantummechanisch systeem beschrijft moet deze relatie bevatten. In bijvoorbeeld Schrödingers golfvergelijking hebben plaats en impuls geen vaste waarde, maar zijn zij stochastisch variabelen met kansverdelingen die impliciet in de golfvergelijking besloten liggen. De kansverdelingen zijn zodanig dat als de ene smaller wordt en de waarde van één grootheid dus beter bekend wordt, de andere onvermijdelijk breder wordt en dus die grootheid minder goed bekend is. Heisenberg berekende een ondergrens voor het product van deze onzekerheden voor plaats en impuls in de formule:

waarbij Δx de onzekerheid (standaardafwijking) in de plaats is, Δp de onzekerheid in de impuls en h de constante van Planck. De waarde van deze constante is (6,626 069 3 ± 0,000 001 1) × 10-34 Js.
Tegenwoordig schrijft men deze uitdrukking vaak met een aangepaste versie van de constante h, de zogenaamde constante van Dirac , h-streep geheten:
.
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg heeft belangrijke gevolgen in veel takken van de natuurkunde, met name op kleine schaal (kwantumfysica). Voor (veel) zwaardere voorwerpen dan elementaire deeltjes, zoals stoelen, huizen of stuifmeelkorrels, geldt de relatie uiteraard ook, maar is de onzekerheid verwaarloosbaar doordat de constante van Planck zo klein is. Een belangrijk gevolg van de onzekerheidsrelatie is dat metingen altijd invloed hebben op het systeem. Wordt bijvoorbeeld zeer exact de plaats van een deeltje gemeten, dan zal hierdoor de impuls, en dus de snelheid, zeer onzeker worden. De meting hoeft niet altijd met opzet te gebeuren: een goed voorbeeld hiervan is een stroom elektronen die op een plaat met een klein gaatje valt. De elektronen die bij toeval door het gaatje vliegen, hebben een kort moment een zeer exact bepaalde positie. Hieruit volgt dat hun impuls parallel aan de plaat zeer onzeker is; de stroom elektronen zal uiteen waaieren achter de plaat, zoals een lichtbundel zou doen.
Ook voor andere grootheden dan plaats en impuls geldt een vergelijkbaar verband. Van belang is de onzekerheidsrelatie voor tijd t en energie E

Dit betekent dat de hoeveelheid energie in een systeem des te onzekerder is naarmate de tijdsschaal waarop het systeem varieert kleiner is. Hierdoor kan er ook als het ware energie 'geleend' worden, wat onder meer aanleiding geeft tot het bestaan van virtuele deeltjes en het tunneleffect.
In de kwantummechanica zijn plaats x en impuls p Hermitische operatoren. Volgens de ongelijkheid van Schwarz geldt algemeen:
Zonder de algemeenheid te schaden nemen we aan dat Ex = 0 en Ep = 0.
Nu volgen hier zeer uitgebreide formules voor de berekening, deze zijn boven opgenomen voor de mensen die daar gebruik van willen maken.

Daarbij is gebruikt gemaakt van het feit dat de operatoren x en p niet commuteren, wat inhoudt dat hun volgorde belangrijk is.
In de kwantummechanica wordt gewerkt met het volgende postulaat: zie formule 4

Dit is ook te zien aan de Schrödinger-operatoren in de plaats-ruimte: formule 5.
(Wat ik eigenlijk wil zeggen betaal Uw boete)

Geen opmerkingen:

Een reactie plaatsen